Seção Retangular com Armadura Dupla

1) Caso de dimensionamento 

Quando se tem, além da armadura de tração As , outra A’s posicionada junto à borda oposta comprimida, diz-se que se tem seção com armadura dupla. Normalmente, ela é empregada para se conseguir uma seção subarmada sem alterar as dimensões da seção transversal. A armadura comprimida A’s introduz uma parcela adicional na resultante de compressão permitindo, assim, aumentar a resistência da seção. 

Em vigas contínuas usuais, os momentos fletores nos apoios costumam superar (em valor absoluto) os momentos máximos dos vãos; além disso, tem-se, em geral, seção retangular de espessura bw junto aos apoios e, seção retangular de espessura bf nos vãos da viga. Dessa forma, os apoios costumam ser as seções críticas; como se tratam de pontos localizados, costuma-se adotar o recurso da armadura dupla.           

                                            

                                                             

                                                                         Figura r.2                                           

                                                         

Equilíbrio de força:            Rsd = Rcd + R’sd

                                              As ssd = 0,68 b x fcd + A’s ssd                             (a) 

Equilíbrio de momento:

                                   Md = Rcd (d - 0,4 x) + R’sd (d - d’)

                                   Md = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) + A’s ssd (d - d’)            (b) 

Tem-se duas equacões, (a) e (b) e três incógnitas: x, As e A’s (pois, as tensões nas armaduras dependem de x). Costuma-se adotar um valor de x (naturalmente, menor ou igual a x34), por exemplo, x = d/2. Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras As e A’s como se indica a seguir. As equações (a) e (b) sugerem a decomposição mostrada na figura 

                    

                                                                         Figura r.3 

Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do momento resistente, designada por Md

            Md = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)

e

            Rsd1 = Md / (d - 0,4 x). 

Como ssd = fyd (peça subarmada), tem-se 

            As1 = Rsd1 / fyd.           

Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente 

            DMd = Md - Md. 

Também, 

            DMd = R’sd (d - d’) = A’s ssd (d - d’)

e

            DMd = Rsd2 (d - d’) = As2 ssd (d - d’) 

que permitem determinar as áreas restantes de armadura, As2 e A’s.  

De fato, 

            R’sd = Rsd2 = DMd / (d - d’)

e

            As2 = Rsd2 / fyd

O cálculo de A’s, requer a determinação da tensão ssd. Com x = x, tem-se, no domínio 3 ec= 0,0035 e, no domínio 2:  

            ec = 0,010 x / (d - x)   (por semelhança de triângulos). 

Logo 

            es = ec (x - d’) / x 

que permite obter ssd (no diagrama s x e da armadura). 

Finalmente 

            A’s = R’sd / ssd

e

            As = As1 + As2.

A animação "Modelo Resistente na Flexão - Armadura Dupla", proporciona o 

roteiro de cálculo apresentado acima, porém enriquecido com recursos que 

possibilitam maior assimilação

 

O applet "Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado de Seção Retangular " 

fornece, mediante elevado grau de interatividade, a seção de aço e o diagrama de deformações de uma viga de concreto  submetida a um carregamento especificado.   

 

2) Caso de verificação

Determinar o momento resistente na seção retangular indicada na figura r.3:

 

                                                  

                                                               Figura r.4 

Dados:

fck = 15 MPa  ;  CA50A  ;  b = 12 cm  ;  d = 45 cm

d’ = 5 cm  ;  Es = 21000 kN/cm2  ;  As = 6 cm2 ; A’s = 4 cm2 

fcd = fck / gc = 1,07 kN/cm2  ;  eyd = 0,00207

x23 = 0,259 d = 11,66 cm  ;  x34 = 0,628 d = 28,26 cm

Não se sabe a priori, o domínio de deformação correspondente ao ELUlt. A solução pode ser obtida através de tentativas.

Admita-se, por exemplo, que as armaduras estejam em escoamento, isto é, 

            Hip. 1: ssd = fyd = 43,48 kN/cm2;

            Hip. 2: ssd = fyd = 43,48 kN/cm2. 

As resultantes de tensão valem: 

            Rcd = 0,68 b x fcd = 0,68×12×x×1,07 = 8,73 x

            Rsd = As ssd = 6×43,48 = 260,9 kN

            R’sd = A’s ssd = 4×43,48 = 173,9 kN 

Do equilíbrio de forças, vem: 

            Rsd = Rcd + R’sd

            260,9 = 173,9 + 8,73 x. 

Logo 

            x = (260,9 - 173,9) / 8,73 = 9,97 cm < x23 = 11,66 cm (domínio 2). 

Portanto, a Hip. 1 está satisfeita.  

Vejamos a Hip. 2. No domínio 2, tem-se: 

             

Portanto, ssd < fyd e a Hip. 2 não é verificada. Estes resultados, permitem orientar a adoção de um outro conjunto de hipóteses bem mais realista. Por exemplo: 

            Hip. 1: ELUlt. no domínio 2;

            Hip. 2: A’S sob tensão ssd < fyd . 

Tem-se: 

             

             

            Rsd = Rcd + R’sd 

             

            8,73 x2 -1493,8 x + 15941 = 0 

             

Como x < x23 = 11,66 cm, tem-se domínio 2 de deformação (Hip 1 satisfeita). Também, 

             

Portanto, a Hip. 2, também, está satisfeita. Prosseguindo, tem-se: 

            Rcd = 8,73 x = 8,73×11,43 = 99,8 kN

             

e, do equilíbrio de momento, tem-se: 

            Mu = Rcd (d - 0,4 x) + R’sd (d - d’) = 99,8×(45 - 0,4×11,43) + 160,9×(45 - 5)

                     = 4035 + 6436 = 10471 kN.cm = 104,71 kN.m.

O caso de verificação também é abordado pela animação "Modelo Resistente na Flexão - Armadura Dupla" 

O applet "Verificação de  Vigas de Concreto Armado de Seção Retangular" fornece, para vigas submetidas a flexão simples e com características geométricas e resistentes fornecidas pelo usuário,  o momento último da peça.