Seção Qualquer

O caso geral de flexão normal simples compõe-se de seção qualquer de concreto e armadura distribuida em várias camadas (Asi). 

                                  

                                                                       Figura q.1                                                     

Para facilitar os cálculos, a zona comprimida da seção de concreto pode ser decomposta em figuras elementares constituidas de triângulos, retângulos e círculos (Aci).  

Geralmente, tratam-se de problemas de verificação, onde se procura determinar o momento resistente da seção. As equações são as seguintes:

·      Equações de compatibilidade: as deformações estão todas relacionadas entre si; nos domínios 2 e 3 tem-se ec = 0,0035 e, no domínio 4


      
ec = 0,010 x / (d - x)

portanto

      
esi = ec (dsi - x) / x (alongamento positivo).

A partir das deformações
esi tem-se as tensões ssdi em cada armadura.

·      Resultantes de tensão:

em cada elemento de concreto: Rcdi = 0,85 fcd Aci (negativa por serem de compressão);

em cada armadura: Rsdi = Asi
ssdi (positiva quando de tração).

·      Equações de equilíbrio:

de força: ;

de momento: .

Em geral, a solução é obtida por tentativas fixando-se certas hipóteses (a serem confirmadas) para facilitar os cálculos; a resposta final é obtida, quando todas as hipóteses admitidas forem satisfeitas.   

O conteúdo desse item também foi contemplado com uma animação, intutulada "Dimensionamento de Seção Genérica". A apresentação do roteiro de cálculo também é feita, mas de forma mais rica e atraente. Do menu de salto, a animação pode ser visualizada pelo item "Qualquer".

Exemplo: Determinar o momento resistente na seção esquematizada a seguir.   

                                 

                                                                       Figura q.2                                                           

Dados: fck = 18 MPa  ;  CA50A  ;  As1 = 10 cm2  ;  As2 = As3 = 4 cm2  

Tem-se: 

            fcd = fck / gc = 1,8 / 1,4 = 1,29 kN/cm2

            fyd = fyk / gs = 50 / 1,15 = 43,48 kN/cm2

            eyd = fyd / Es = 43,48 / 21000 = 0,00207

            x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d = 0,259×90 = 23,3 cm

            x34 = 0,0035 d / (0,0035 + eyd) = 0,0035×90 / (0,0035 + 0,00207) d = 0,628 d

                  = 0,628×90 = 56,5 cm           

I) Admitam-se as seguintes hipóteses: 

            hip.1: ELUlt. no domínio 3 de deformação;

            hip.2: As1 em escoamento na tração e As3 na compressão; As2 com ssd2 £ fyd;

            hip.3: 0,8 x £ 20 cm. 

Tem-se: 

            Rsd1 = 10×43,48 = 434,8 kN

            Rsd3 = -4×43,48 = -173,9 kN

            Rsd2 = As2 Es 0,0035 x / (ds2 - x) = 4×21000×0,0035 x / (40 - x) = 294 x / (40 - x)

            Rcd = - 0,85 fcd b 0,8 x = - 0,68 b x fcd = - 0,68×40×1,29×x = - 35,1 x 

Equilíbrio de força: Rsd1 + Rsd2 + Rsd3 + Rcd = 0 

            434,8 + 294 x / (40 - x) -173,9 -35,1 x = 0

            (260,9 - 35,1 x) (40 - x) + 294 x = 0

            35,1 x2 - 1370,9 x + 10436 = 0

             

Verificação das hipóteses admitidas: 

            Hip.1: não verificado pois tem-se domínio 2;

            Hip.2:  ec = 0,01 x / (d - x) = 0,01 10,36 / (90 - 10,36) = 0,0013

                        es1 = ec (ds1 - x) / x = 0,0013 (5 - 10,36) / 10,36 = -0,0007 (não verif.)

                        es2 = ec (ds2 - x) / x = 0,0013 (40 - 10,36) / 10,36 = 0,0037 (não verif.)

                        es3 = ec (ds3 - x) / x = 0,0013 (90 - 10,36) / 10,36 = 0,010 (verificado)

            Hip.3: verificado. 

II) Novas hipóteses: tendo-se em vista os resultados anteriores, pode-se tentar as seguintes hipóteses: 

            hip.1: ELUlt. no domínio 2 de deformação;

            hip.2: As1 em escoamento na tração; As2 e As3 com tensões menores 

                       do que fyd;

            hip.3: 0,8 x £ 20 cm. 

Tem-se: 

            Rsd1 = 10×43,48 = 434,8 kN

            Rsd2 = As2 Es 0,010 (ds2 - x) /(d - x)= 4×21000×0,0105 (40 - x) / (90 - x) =

                   = 840 (40 - x) / (90 - x)

            Rsd3 = As3 Es 0,010 (dS3 - x) / (d - x) = 4×21000×0,010 (5 - x) / (90 - x) =

                   = 840 (5 - x) / (90 - x)

            Rcd = - 0,85 fcd b 0,8 x = - 0,68 b x fcd = - 0,68×40×1,29×x = - 35,1 x 

Equilíbrio de força: 

            Rsd1 + Rsd2 + Rsd3 + Rcd = 0 

            434,8 + (40 - x + 5 - x) 840 / (90 - x) -35,1 x = 0

            (434,8 -35,1 x) (90 - x) + (45 - 2 x) 840 = 0

            35,1 x2 - 5273,8 x + 76932 = 0

             

Verificação das hipóteses admitidas: 

            Hip.1 e Hip.3: verificados pois tem-se x < x23 e x < 20 cm;

            Hip.2:       es2 = 0,01 (ds2 - x) / (d - x) = 0,01 (40 - 16,37) / (90 - 16,37)

                             = 0,0032 (em escoamento, portanto, hipótese não verificada)

                             es3 = 0,01 (ds3 - x) / (d - x) = 0,01 (5 - 16,37) / (90 - 16,37)

                             = -0,0015 < 0,00207 (hipótese verificada) 

III) Novas hipóteses: os resultados anteriores, sugerem as seguintes hipóteses: 

            hip.1: ELUlt. no domínio 2 de deformação;

            hip.2: As1 e As2 em escoamento na tração; e As3 sob tensão menor 

                       do que fyd; 

 

            hip.3: 0,8 x £ 20 cm. 

Tem-se: 

            Rsd1 = 10×43,48 = 434,8 kN

            Rsd2 = 4×43,48 = 173,9 kN

            Rsd3 = As3 Es 0,010 (ds3 - x) / (d - x) = 4×21000×0,010 (5 - x) / (90 - x) =

                   = 840 (5 - x) / (90 - x)

            Rcd = - 0,85 fcd b 0,8 x = - 0,68 b x fcd = - 0,68×40×1,29×x = - 35,1 x 

Equilíbrio de força: 

            Rsd1 + Rsd2 + Rsd3 + Rcd = 0 

            434,8 + 173,9 + (5 - x) 840 / (90 - x) -35,1 x = 0

            (608,7 -35,1 x) (90 - x) + (5 - x) 840 = 0

            35,1 x2 - 4607,7 x + 58983= 0

             

Verificação das hipóteses admitidas: 

            Hip.1 e Hip.3: verificados pois tem-se x < x23 e x < 20 cm;

            Hip.2:      es2 = 0,01 (ds2 - x) / (d - x) = 0,01 (40 - 14,38) / (90 - 14,38)

                             = 0,0034 (em escoamento, portanto, hipótese verificada)

                            es3 = 0,01 (ds3 - x) / (d - x) = 0,01 (5 - 14,38) / (90 - 14,38)

                             = -0,0012 (hipótese verificada) 

Este conjunto de hipóteses está inteiramente satisfeito. Pode-se, assim, determinar o momento resistente. 

            Rcd = -31,5 x = -35,1×14,38 = -504,7 kN

            Mcd = Rcd (dc - x) =  = -504,7×(0,4 x - x) = -504,7×(-0,6×14,38) = 43,5 kN.m

            Rsd1 = 10×43,48 = 434,8 kN

            Msd1 = Rsd1 (ds1 - x) = 434,8×(90 - 14,38) = 328,8 kN.m

            Rsd2 = 4×43,48 = 173,9 kN

            Msd2 = Rsd2 (ds2 - x) = 173,9×(40 - 14,38) = 44,6 kN.m

            Rsd3 = As3 Es 0,010 (ds3 - x) / (d - x) = 4×21000×0,010 (5 - x) / (90 - x) =

                   = 840 (5 - x) / (90 - x) = 840 (5 - 14,38) / (90 - 14,38) = - 104,2 kN

            Msd3 = Rsd3 (ds3 - x) = -104,2 (5 - 14,38) = 9,8 kN.m 

            Total:            

            Mu = Mcd + Msd1 + Msd2+ Msd3 =

                     =43,5 + 328,8 + 44,6 + 9,8 = 426,7 kN.m.